期刊：IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRIAL INFORMATICS
研究背景
在系统健康诊断和预测剩余使用寿命(RUL)中，退化模型扮演着重要角色。本文献所提方法前，一类使用维纳过程并具有自适应漂移的退化模型被提出，用于RUL预测。虽然这类模型具有灵活性和有效性，但是由于使用了AR(1)模型作为自适应漂移，导致模型参数估计和RUL预测的困难，而且这类方法对于测量间隔不均匀的情况适应性较差，这在一定程度上限制了它们的实际应用效果。
研究内容
提出了一种新的维纳过程模型。这种新模型利用布朗运动代替一阶自回归模型进行适应漂移，具有与现有模型相同的灵活性，但避免了模型参数估计和RUL预测困难的问题。
给出了基于最大似然估计的模型参数估计方法，并推导了基于该模型的RUL预测。
通过模拟和锂离子电池降解实例证明了该模型在RUL预测方面的有效性。
研究方法
基本维纳过程建模
X(t)表示产品质量特性的退化过程。
基本维纳过程：X(t)=X_0+vt+\kappa{B(t)}
v是漂移参数，表征退化率，\kappa> 0是扩散系数，B(t)标准布朗运动，X_0是初始退化水平
当退化水平X(t)超过某一阈值，则认为产品失效
但在实际的应用场景中，退化率是随着工作环境的改变而变化，恒定的退化率对于模型实际应用存在明显限制
自适应维纳过程
v(t)=v_0+\sigma{W(t)} \\ X(t)=\int_{0}^{t}{v(\tau)dS(\tau,\alpha)}+\kappa{B(t)}
v(t)是遵循维纳过程的时变漂移率，其中v_0是初始漂移率，\kappa是混合系数，W(t)是一个与B(t)独立的标准布朗运动，S(\tau,\alpha)是一个预先确定好的单调递增函数，\alpha为该函数的参数。在无限小时间步下，上式可写为：
dX(t)=v(t)dS(\tau,\alpha)+kdB(t)
该方法的待估计参数为\theta=(v_0,\kappa,\sigma,\alpha)
极大似然估计
假设有n个产品的退化观测值\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{j}}=\left(X_{1, j}, X_{2, j}, \ldots, X_{n, j}\right)^{\prime}, j=1,2, \ldots, m代表上述值测量于时刻\boldsymbol{T}=\left(T_1, T_2, \ldots, T_m\right)^{\prime}，令\boldsymbol{S}=\left(S_1, S_2, \ldots, S_n\right)^{\prime}, \boldsymbol{Q}\left(i_1, i_2\right)=\min \left(t_{i_1}, t_{i_2}\right), shape (\mathbf{Q})=\mathrm{n} \times \mathrm{n}.
\boldsymbol{D}\left(i_1, i_2\right)=S_{i_1} S_{i_2} \min \left(t_{i_1}, t_{i_2}\right)-\left(S_{i_1}-S_{i_2}\right) \int_0^{\min \left(t_{i_1}, t_{i_2}\right)} S(\tau) d \tau+\int_0^{\min \left(t_{i_1}, t_{i_2}\right)} S(\tau)^2 d \tau
\boldsymbol{X_j}遵循均值为v_0\boldsymbol{S}，协方差矩阵为\boldsymbol{\sum}=\kappa{^2}\boldsymbol{D}+\sigma{^2}\boldsymbol{Q}的多变量高斯分布
故其似然函数可写为如下形式：
\ell\left(\boldsymbol{\Theta} \mid \boldsymbol{X}_1, \ldots, \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{m}}\right)=-\frac{m n}{2} \ln 2 \pi-\frac{m}{2} \ln |\Sigma|-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^m\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{j}}-v_0 \boldsymbol{S}\right)^{\prime} \Sigma^{-1}\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{j}}-v_0 \boldsymbol{S}\right)
对上式求一阶导数，即可求得参数的估计值
在线剩余使用寿命预测（根据退化数据跟新自适应漂移）
\begin{aligned} & v(t)=v_0+\kappa W(t) \\ & X(t)=\int_0^t v(\tau) d S(\tau, \alpha)+\sigma B(t) \end{aligned}
离散化：
\begin{gathered}v_i=v_{i-1}+k \Delta W_i \\ X_i=X_{i-1}+v_{i-1} \Delta S_i+k \int_{t_{i-1}}^{t_i} W(\tau) d S(\tau)+\sigma \Delta \mathcal{B}_i\end{gathered}
矩阵化:
\left(\begin{array}{c}v_i \\ X_i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \Delta S_i & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}v_{i-1} \\ X_{i-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\kappa \Delta W_i \\ \kappa \int_{t_{i-1}}^{t_i} W(\tau) d S(\tau)+\sigma \Delta \mathcal{B}_i\end{array}\right)
\boldsymbol{W}_i=\left(\kappa \Delta W_i, \kappa \int_{t_{i-1}}^{t_i} W(\tau) d S(\tau)+\sigma \Delta \mathcal{B}_i\right)^{\prime}是具有零均值的随机噪声，设其在第i步的协方差为∏ ?
\begin{gathered}
\Pi_i(1,1)=\kappa^2\left(t_i-t_{i-1}\right)=\kappa^2 \Delta t_i, \\
\Pi_i(1,2)=\Pi_i(2,1)=\kappa^2 \int_{t_{i-1}}^{t_i}\left(S\left(t_i\right)-S(\tau)\right) d \tau, \\
\Pi_i(2,2)=\kappa^2 \int_{t_{i-1}}^{t_i}\left(S\left(t_i\right)-S(\tau)\right)^2 d \tau+\sigma^2 \Delta t_i .
\end{gathered}
基于历史观察数据X_{1 ; n}=\left(X_1, \ldots, X_n\right) 和卡尔曼滤波算法，在\left(v_{i-1} \mid X_{1: i-1}\right) \sim \mathcal{N}\left(\mu_{i-1}^v, \omega_{i-1}^v\right)，可得\left(v_i \mid X_{1: i-1}, X_i\right) \sim \mathcal{N}\left(\mu_i^v, \omega_i^v\right)
\begin{aligned}
& \mu_i^v=\mu_{i-1}^v+\left(X_i-X_{i-1}-\mu_{i-1}^v \Delta S_i\right) \frac{\omega_{i-1}^v \Delta S_i+\Pi_i(1,2)}{\omega_{i-1}^v \Delta S_i^2+\Pi_i(2,2)} \\
& \omega_i^v=\omega_{i-1}^v+\Pi_i(1,1)-\frac{\left(\omega_{i-1}^v \Delta S_i+\Pi_i(1,2)\right)^2}{\omega_{i-1}^v \Delta S_i^2+\Pi_i(2,2)}
\end{aligned}
在线剩余使用寿命预测（RUL预测）
\begin{aligned}
X\left(t+t_n\right) & =X_n+v_n\left(S\left(t+t_n\right)-S_n\right)+\kappa \int_{t_n}^{t+t_n}\left(W(\tau)-W\left(t_n\right)\right) d S(\tau)+\sigma\left(B\left(t+t_n\right)-B\left(t_n\right)\right) \\
& =X_n+v_n \tilde{S}(t)+\kappa \int_0^t \widetilde{W}(t) d \tilde{S}(t)+\sigma \widetilde{B}(t)
\end{aligned}
上式中\tilde{S}(t)=S\left(t+t_n\right)-S_n, \quad \widetilde{W}(\tau)=W\left(\tau+t_n\right)-W\left(t_n\right), \quad \widetilde{\mathcal{B}}(t)=\mathcal{B}\left(t+t_n\right)-\mathcal{B}\left(t_n\right)
系统的剩余使用寿命为退化信号首次超过阈值D的时间，RUL=inf\{t:\widetilde{S}(t)>D\}
依据相关文献，可将\kappa \int_0^t \widetilde{W}(t) d \widetilde{S}(t)+\sigma \widetilde{B}(t)近似为一个简单维纳过程B(\phi(t))
\psi(t)=\kappa^2 \int_0^t(\tilde{S}(t)-\tilde{S}(\tau))^2 d \tau+\sigma^2 t
故X(t+t_n)可简化为
\tilde{X}(t)=X_n+v_n \tilde{S}(t)+\mathcal{B}_0(\psi(t))
在退化程度为X(t_n)的第n个测量节点，剩余使用寿命的概率密度函数可近似为
\begin{gathered}
f_{R U L}(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\left(\psi(t)+\omega_n^v \tilde{S}(t)\right)}}\left(\frac{\psi^{\prime}(t)}{\psi(t)}\left(D-X_n\right)\right. \\
+\left(\widetilde{S}^{\prime}(t)-\frac{\psi^{\prime}(t)}{\psi(t)} \tilde{S}(t)\right) \frac{\psi(t) \mu_n^v+\left(D-X_n\right) \tilde{S}(t) \omega_n^v}{\psi(t)+\omega_n^v \tilde{S}(t)^2} \cdot \exp \left\{-\frac{\left(D-X_n-\mu_n^v \tilde{S}(t)\right)^2}{2\left(\psi(t)+\omega_n^v \tilde{S}(t)^2\right)}\right\}
\end{gathered}
结果与分析
数据
来源：NASA Ames Prognostics Center ofExcellence
类型：锂离子电池容量衰减
说明：观察到衰减过程存在明显波动，这意味着衰减率可能会发生变化。因此，可以考虑使用具有自适应漂移的维纳过程来模拟电池的容量衰减。
用于对比的近似模型（一阶自回归）：
\left(\begin{array}{l}
v_i \\
X_i
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\Delta S_i & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v_{i-1} \\
X_{i-1}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
\kappa \Delta W_i \\
\sigma \Delta \mathcal{B}_i
\end{array}\right)
结果表明，本文献所提模型能更好地预测 RUL，尤其是在早期阶段。这可能是因为近似模型在预测 RUL 时忽略了自适应漂移的变化。随着电池寿命的衰减，提出的模型和近似模型都能提供接近真实 RUL 的估计值。
展望
将本文献提出的方法扩展到多元退化数据的建模
呃呃